Categorías. La cantidad

A mi no me lo parece, por ejemplo:

π tiene un valor de 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823

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185480744623799627495673518857527248912279381830119491....

¿No te parece incluso hermoso?

Saludos

Sobre esto de la categoría "cantidad" a mí no me queda nada claro del texto de Sintética a qué se refiere Aristóteles.¿A cantidades o a cosas que que pueden ser cuantificadas?. Una línea no es una cantidad, una superficie tampoco, pueden ser cuantificadas sin embargo. De hecho un número es una cantidad pero sólo cuantifica si se refiere a algo. Y lo mismo pasa con π. Es un número que per se no se diferencia de cualquier otro. Sólo cuando se demuestra que define una relación exacta entre un lugar geométrico y una línea (un círculo y su diámetro) adquiere algún significado distinto del de cualquier otro número. De hecho a mí π no me parece una categoría cantidad, más bien una categoría "un donde" o "un hallarse situado". Sintética podrá decir que un "número" es una cantidad discreta de la categoría "cantidad" pero lo que yo quiero saber es qué pensaba Aristóteles cuando pensaba en el "3", ¿tres qué?. Si pensaba solo en cosas cuantificables entonces la categoría cantidad se referirá a esas cosas no a las cantidades, por otro lado hay cantidades "adimensionales", cifras en la Naturaleza que expresan una "cantidad" pero no se refieren a nada. Existen y punto. El número de Arquímedes es un número, un número que describe el movimiento de un fluido y distingue a ese fluido de otro de diferente densidad, pero ese número (supongamos que es 3) ¿pertenece a la categoría cantidad?, resulta que sólo tiene sentido por oposición a otro número. Mientras puedo decir que tengo 173 panes, y cuantifico una cosa y no necesito de otra cosa para saber qué son 173 panes, sólo puedo decir que el número de Arquímedes de un fluido es 173 (no 173 panes, no "nada") y 173 sólo adquiere sentido si lo comparo con otro fluido. 

Mi sospecha, que expongo, es la siguiente. ¿Podría referirse Aristóteles con la categoría "cantidad" a lo "conmensurable"?. Ahora para nosotros todo es conmensurable pero en época de Aristóteles no. Y durante centurias después de Aristóteles tampoco. Los griegos suponían que todo número era cociente de otros dos (3=6/2) pero no eran idiotas y sabían también que esa suposición no funcionaba en algunos casos. Por ejemplo les causaba dolor de cabeza un triángulo rectángulo con los dos catetos de valor 1. Les salía una hipotenusa muy rara, una hipotenusa expresada por una cantidad que hasta entonces desconocían (en concreto la raíz cuadrada de 2), un número que sabemos irracional.

Si no eran idiotas, ¿qué hicieron?. Desarrollaron una disciplina nueva para convivir con "cantidades" que no entraban dentro de lo que llamaban "conmensurable" (cuantificable), a esa disciplina la llamaron "geometría":

Separaron totalmente las cantidades numéricas de las magnitudes geométricas.

El problema era tan difícil, y ellos lo hicieron tan bien, que tardamos 2000 años en unificar las dos cosas. Es lo que me lleva a pensar, contextualizando a Aristóteles, que por "cantidad" categoriza lo conmensurable, y por tanto la categoría cantidad y las cosas que pueden ser cuantificadas es lo mismo, y aún me asombro de lo cerca que estuvieron de entender a la perfección lo que sabemos hoy en día, y si bien hay gente que sostiene ufana que la voz algoritmo tiene sus orígenes en matemáticos árabes bla. bla, bla, mi extravagancia natural tiene otra opinión no avalada por ningún erudito, aunque por ser mía yo la considero óptima

Algoritmo viene de las voces griegas ἄλγος (dolor) y ἀριθμός (número, cálculo), o sea, cálculo doloroso

Al que no le guste mi tesis tanto me da.

A mí no me parece sosa, estuvieron a un pelo, muy cerca, de lograr lo que luego costó 2000 años más.

saludos

r.

Gracias por la respuesta, trato de llevar mi cerebro al tiempo del filósofo para no hacer trucos. Me interesa en realidad lo que pensaba él y no lo que sabemos ahora. Dices que no hay números geométricos, sin embargo eso es cierto sólo desde hace relativamente poco, es lo que atribulaba a los griegos, y lo hicieron tan bien que se tardó 2000 años después de ellos en hacer converger los números normales y corrientes con los "números geométricos". De ahí mis dudas cuando me pongo o intento situarme en época de Aristóteles.

Piensa en dos números que para ellos, los griegos, no eran números, Pi y √2. Este último, la raíz cuadrada de 2, era para ellos y desde Pitágoras (por tanto Aristóteles lo conocía) algo muy diferente de un número como 6. El número 6, media docena, no tengo la menor duda de que Aristóteles lo encuadrara como bien dices en la categoría cantidad. Pero....¿√2?. Con todo lo que sabían de números ellos no lograban "producir" ese número misterioso llamado "constante de Pitágoras" o √2 si prefieres.

Para producir la cantidad 6, media docena, bastaba escoger la mitad (dividir por 2) de una docena, de 12. Pero con todas las cantidades (o números que expresaran cantidades) que conocían les atribulaba en extremo no ser capaces de llegar con ninguna combinación de operaciones al número que hoy llamamos √2, y que sabemos es "irracional", es decir, que lo que pretendían los griegos no era posible, no podrían encontrar una combinación de otros dos números (dividir por dos una docena para obtener media docena) que arrojara como resultado ese extraño artefacto llamado √2.

¿Por qué les preocupaba?, porque esa cantidad, √2, salía a menudo en sus vidas. En lo cotidiano.

Sabían que si un terreno era cuadrado (cualidad) la diagonal de ese terreno era igual siempre a la longitud (cantidad)  de un lado multiplicada por el artefacto, por √2. Un niño aprende hoy de memorieta que la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado L es igual a √2xL.

Para explicar ese número crearon la geometría. Dos mil años después logramos entender ese número, √2, como entendemos el número 6 o 12. Pero ellos no, aunque estuvieron cerca (eso es lo asombroso).  

Ellos, para explicar ese artefacto, √2, inventaron la geometría, y decían que ese artefacto llamado hoy √2 lo que describía era "la diagonal de un cuadrado de lado la unidad".

Por tanto, mi pregunta, poniéndome en la piel de Aristóteles, es intrigante. ¿Consideraría Aristóteles a √2 dentro de la categoría "cantidad"?.  Fíjate que fue incapaz, lo fuimos los seres humanos dos milenios más, de igualar esa cosa, √2, a las "cantidades" obvias, como 3 o 6. Necesitaba recurrir a una descripción geométrica (cuadrados, líneas) para explicar el dichoso artefacto. Era entonces √2 una cantidad "no conmensurable", precisamente para lidiar con la conmensurabilidad y comparar el tamaño de dos parcelas crearon, al margen de los números esas magnitudes geométricas, y por eso mi sospecha y dudas poniéndome en la época.

Curiosamente, babilonios e indios intentaron una aproximación más "moderna", y lograban "producir" ese número hasta varios decimales como una suma de fracciones de otros números siglos antes que los griegos. Pero se atrancaron, no se elevaron sobre el problema, no fueron más allá, al meta-problema, y no desarrollaron la geometría.

Más curiosamente todavía. Yo considero un grave error la introducción a los números a los chavales ("cantidad") con el formalismo moderno. Creo que el método geométrico [que hasta donde sé sólo conservan alemanes e italianos, ignoro la razón] es mucho más eficaz e intuitivo, aunque tenga la antigüedad de Aristóteles y otros griegos.

Hoy, una niña de 11 años aprende de memorieta que la longitud de una circunferencia es el diámetro x Pi, o 2 x radio x Pi. Sin embargo Aristóteles le habría dicho a la niña. Trae mañana varias cuerdas de diferente longitud. Haz sendas circunferencias con las cuerdas.

Y luego le habría mostrado a la niña que dividiendo la longitud de cada cuerda por el diámetro de la circunferencia hecha por la niña con esa cuerda sale un número. Y si hace lo mismo con otra cuerda sale el mismo número. Y así con todas las cuerdas, con todas, no importa su longitud, la relación entre la longitud de la cuerda, por corta o larga que sea, con el diámetro de la circunferencia que se hace en el suelo con esa cuerda es......siempre la misma. Y ese número....lo llamaron Pi.

De ahí mi sospecha de que ciertas cosas que hoy pondríamos nosotros en la categoría cantidad, el número √2, por ejemplo, no eran de esa categoría para los alumnos de Aristóteles, es sólo una sospecha mía, ocurrida al hilo de tu exposición sobre las categorías, que desconocía completamente y que agradezco.

abrazos muchos

r.

Si el número 3 sólo puede ser 3 y no 2 ni 9 ni 100 ya podemos figurar el 3 como un objeto espacial, objeto numérico en este caso. 

El número 3 no es una cosa sino un número que puede representarse como un objeto, por ejemplo un triángulo equilátero. Habrá finitos o infinitos triángulos equiláteros pero el triángulo al que le asignamos el número 3 ocupa un lugar de un espacio determinado que ningún otro triángulo puede ocupar. Habrá triángulos 3A, 3B, 3C, etc., ocupando sus respectivos lugares de ese espacio, pero el triángulo 3 ocupa un lugar específico que sólo él puede disponer. 

Si a lo largo de una recta numérica postulamos que el 3 es el 3 no estamos hablando de cantidades que se dicen de cosas, hablamos de un número determinado, el 3, un cuanto en el sentido aristotélico, y que está inserto en una serie finita o infinita de números. 

Para sumar, restar, dividir y multiplicar números no es necesario, en mi opinión, equipararlos con cosas, pues los números son autónomos. Si tenemos dos naranjas y a una la llamamos naranja 1 y a la otra naranja 2 no estamos diciendo que las naranjas son números sino que se representan o figuran mediante números. Una vez comidas ambas naranjas éstas desaparecen pero los números perduran en su existencia autónoma y conceptual. 

Los egipcios, es cierto, usaban la geometría para parcelar tierras pero también para construir pirámides, templos, jardines y otras lindezas. También dispusieron de tiempo para enseñar la materia a los griegos. 

 Sint, te preguntas si los números son cosas; en mi opinión son objetos autónomos en relación bi-direccional, que no uni-direccional, con los átomos, árboles, perros, gatos, naranjas, oro, cuarzo, etc. Es obvio que los números tienen una faceta física, de no ser así no acotarían y medirían campos físicos, es decir, no pueden estar fuera del espacio tiempo del objeto material de su descripción, por eso enfatizo que la relación de los números con las cosas no es unidireccional sino bi-direccional y les permite perdurar aunque la cosa que designan desaparezca, quiero decir que el número no pierde su lógica interna y exclusiva de él cuando suma, resta, divide y multiplica cosas que no son números, es bi-direccional porque no pierde su lógica propia al medir la cosa, posee una  simbología intrínseca que es independiente de las magnitudes que mide aunque al mismo tiempo está relacionado con las cosas que describe. 

Que quede claro que no discrepo de Aristóteles cuando incluye los números en la categoría de la cantidad, argumentas bien cuando escribes que uno de los usos de la recta numérica es relacional, medir tela, suelo o distancias pero en mi opinión el número tiene también un aspecto discreto, no sólo continuo, y el cuanto/número es autoreferente lo que muestra un pliegue curioso de su inteligencia simbólica. Parece que la categoría aristotélica de la cantidad no incluye la lógica intrínseca del símbolo numérico puesto que según el Estagirita el número es el predicado de la cosa/entidad que se mide, pesa, reduce, aumenta, etc. Parece también a la luz del ejemplo propuesto por balsero que el número/cuanto aristotélico es entero, es decir, no admite decimales, de ahí la dificultad para encajar en la categoría de cantidad un número decimal como 1,4142. 

Si postulamos que un número decimal es una cualidad y no una cantidad contradecimos a Aristóteles, salvo que el “cuadrado cual” de tu ejemplo sea una figura geométrica sin atribución numérica. Pero dudo que después de inventada el álgebra sea posible ignorar las propiedades numéricas de las figuras geométricas. Saludos.

 Sint, estoy reflexionando sobre este asunto, y como esperaba tu respuesta, la cual agradezco, lo que apunto ahora es eso, un apunte. 

Supongo que tú eres tú y el Estagirita es Aristóteles, quiero decir que tienes un margen de libertad conceptual para exponer tu propia idea sin ataduras ajenas. No me apetece debatir contra Aristóteles por vía interpuesta sino consensuar razones contigo, no se trata de afirmar o negar las razones del Estagirita sino de armonizar las nuestras. 

Los números, coincido con el filósofo, pertenecen a la categoría de la cantidad. Pero hay varios tipos de números y no sólo el Estagirita sino Pitágoras tuvieron dificultades con los irracionales. En mi opinión, cualquier número que adscribamos a la categoría de la cualidad es una operación provisional hasta buscarle encaje en la cantidad, del mismo modo que en el ábaco de antaño el cero ocupaba un lugar vacío y carente de valor. 

Los números no sólo son cantidades discretas y continuas, no sólo son glifos y signos, líneas, superficies y volúmenes, los números son autoreferenciales porque poseen su propia lógica con independencia de las cosas que miden. Si digo que para hacerme un traje necesito cuatro metros de tela efectúo una operación doble: relacional y lógica. Relacional porque tengo que medir mis proporciones para ajustarlas a los metros de tela, es una operación predicativa. Pero me resulta imposible hacer el traje si la herramienta que uso, los números, no poseyeran una lógica propia y exclusiva que me facilita sumar, restar o dividir para que la confección del traje se ajuste a los parámetros de mi medida. En definitiva, el número no sólo cumple una función predicativa de la cosa, que también, sino que lo hace gracias a su lógica interna, y por tanto el número es algo más que un predicado. Saludos.

Por supuesto que tampoco existen triángulos reales (objetos físicos) que sean equiláteros, ni existen circunferencias. Hay triángulos y óvalos. Todos los que no existen es porque imponen una condición que no puede darse en el mundo real.