Fuentes para el debate sobre en qué categoría incluir √2

Estoy recopilando datos. Busco en el tomo sobre Pitágoras de la enciclopedia de Guthrie lo que se dice sobre los números irracionales. No es el tema estrella, aparecen en total en cuatro ocasiones. Copio la nota 181, pág. 255:

La fecha del descubrimiento de los números irracionales se ha discutido mucho, sin llegar a conclusión alguna. Un firme terminus ante quem nos lo proporciona Platón, Teeteto 147 D, en donde se dice que Teodoro había demostrado la irracionalidad de √3, √5 … √17, la de √12 se conocía ya antes de su época. Lo más probable es la conclusión de Van der Waerden (Math. Anale, 1948, págs. 152-3) de que la prueba de la racionalidad de √2 se llevó a cabo antes del 420, quizá alrededor del 450, por los pitagóricos, basándose en su teoría de los números impares y pares (cf. La prueba dada por Aristóteles, An. Pr. 41 a 26, de que si la diagonal fuera medible, el mismo número tendría que ser impar y par a un tiempo). La datación tardía de Frank (no antes del 400, Plato u. d. sog. Pyth., págs.. 228 y sigs.) no suele aceptarse ahora por lo general.
 

Platón, Teeteto 147d

Teet. – Con respecto a las potencias, Teodoro nos hizo un dibujo para demostrarnos que las de tres y las de cinco pies no son conmensurables en longitud con las de uno, y las fue eligiendo así, una a una, hasta la de diecisiete pies. Pero se detuvo en ésta por alguna razón. Así es que se nos ocurrió que podríamos intentar reunir todas las potencias, ya que parecían ilimitadas en número, bajo la denominación de un mismo término.

Sóc. – ¿Y encontrasteis algo con esas características?

Teet. – Yo creo que sí, pero examínalo tú mismo.

Sóc. – Dime.

Teet. – Dividimos todos los números en dos clases. El que se obtiene multiplicando un número por sí mismo lo representamos en la figura de un cuadrado y lo denominamos cuadrado y equilátero.

Sóc. – Muy bien.

Teet. – Pero los números intermedios, como son el tres, el cinco y todo el que no puede obtenerse multiplicando uno menor por otro mayor, o uno mayor por otro menor, éstos, que quedan comprendidos en lados mayores y menores, los representamos, a su vez, en la figura de un rectángulo y les damos el nombre de número rectangular.

Sóc. – Estupendo. Pero, ¿qué hicisteis a continuación de esto?

Teet. – Todas las líneas que representan en el plano un número bajo la forma de un cuadrado equilátero, las definimos como longitudes. En cambio, las que constituyen una figura de longitudes desiguales, las definimos como potencias, puesto que en longiutd no son conmensurables con aquéllas, pero sí lo son en superficie. Y con respecto a los sólidos hacemos algo parecido.

Aristóteles, Analíticos primeros 41a26

Pues todos los razonamientos que concluyen a través de lo imposible prueban lo falso, pero la proposición del principio la demuestran, por hipótesis, cuando se desprende algo falso al suponer la contradicción; como, por ejemplo, que la diagonal es inconmensurable se prueba porque lo impar se hace igual a lo par al suponer que sea conmesurable. Así, pues, que lo par se hace igual a lo impar se prueba por razonamiento; en cambio, que la diagonal es inconmensurable se demuestra por hipótesis, ya que en virtud de la contradicción se desprende una falsedad. En efecto, en eso consistía el razonar a través de lo imposible, en mostrar que se da algo imposible en virtud de la hipótesis establecida al principio.

Recuerdo que lo par y lo impar se trataba con mucha frecuencia en la Física.

Aristóteles, Física 194a

Los que hablan de las Ideas proceden de la misma manera sin darse cuenta, pues separan las entidades naturales, las cuales son sin embargo mucho menos separables que las matemáticas. Se podría aclarar esto si se intentase establecer en cada uno de estos casos las definiciones de las cosas y de sus atributos. Porque lo impar y lo par, lo recto y lo curvo, y también el número, la línea y la figura, pueden definirse sin referencia al movimiento; pero no ocurre así con la carne, el hueso y el hombre: estos casos son similares a cuando se habla de «nariz chata», pero no de «lo curvo». Esto es también claro en las partes de las matemáticas más próximas a la física, como la óptica, la armónica y la astronomía, ya que se encuentran en relación inversa con la geometría, pues mientras la geometría estudia la línea física, pero en tanto que no es física, la óptica estudia la línea matemática, no en tanto que matemática, sino en tanto que física.

Puesto que la naturaleza se entiende en dos sentidos, como forma y como materia, tenemos que estudiarla de la misma manera que si investigásemos qué es lo chato en una nariz; porque el objeto de nuestro estudio no son cosas carentes de materia ni tampoco cosas exclusivamente materiales.

Pero, con respecto a este doble sentido, pueden plantearse otra dificultad: ya que hay dos naturalezas, ¿cuál ha de ser estudiada por el físico? ¿O tendrá que estudiar más bien lo que resulta de ambas? Pero, si tiene que estudiar lo que resulta de ambas, entonces también cada una de ellas. En tal caso, ¿habrá una misma ciencia para ambas naturalezas, o bien una ciencia para la una y otra para la otra?

Si atendemos a los antiguos, podría parecer que el objeto de la física es la materia (pues Empédocles y Demócrito se han ocupado muy escasamente de la forma y de la esencia). Pero si el arte imita a la naturaleza y es propio de una misma ciencia el conocer la forma y la materia (por ejemplo, es propio del médico conocer la salud, pero también la bilis y la flema en las que reside la salud; y asimismo es propio del constructor conocer la forma de la casa pero también la materia, a saber, los ladrillos y la madera; y lo mismo hay que decir de cada una de las otras artes), será entonces tarea propia de la filosofía conocer ambas naturalezas.

Además, es propio de esta ciencia conocer el «para lo cual» o el fin y todo lo que está en función de ese fin. Pero la naturaleza es fin y aquello para lo cual; porque si en las cosas cuyo movimiento es continuo hay algún fin de ese movimiento, tal fin será tanto su término extremo como aquello para lo cual. Por eso el poeta llegó a decir  burlonamente: «tiene el fin para el cual nació», porque no cualquier extremo puede pretender ser el fin, sino sólo el mejor. También las artes producen la materia —algunas absolutamente, otras para hacerla operativa—, y nosotros hacermos uso de las cosas como si todas existieran para nuestro propio fin (porque somos en cierta manera también un fin, pues «para lo cual» lo decimos en dos sentidos, como se indicó en Sobre la filosofía).

¡La nariz chata! Esta idea recorre la obra de Aristóteles, dicen que ya era un ejemplo usual en la Academia.

Aristóteles, Metafísica, libro VII, capítulo V

Si uno no admite que el enunciado compuesto por adición es definición, se plantea una aporía: entre las cosas que no son simples, sino compuestas por la unión de más de un término ¿de cuáles hay definición? Esto ha de aclararse, ciertamente, a partir de la adición. Quiero decir, por ejemplo, que hay nariz y concavidad, y además chatez, y ésta se enuncia a partir de aquellas dos en cuanto que la una se da en la otra, y ni la concavidad ni la chatez son afecciones de la nariz accidentalmente, sino por sí misma: no se dan en ésta como la blancura en Calias o en un hombre –porque es blanco Calias al cual sucede que es hombre–, sino como “macho” se da en el animal, “igual” en la cantidad, y todas aquellas cosas que se dice que se dan por sí mismas. Y son tales aquellas en las cuales está comprendido el enunciado o el nombre de aquello de lo cual tal cosa es afección, y ésta no puede expresarse independientemente: así, puede explicarse “blanco” sin “hombre”, pero no “hembra” sin “animal”. Por consiguiente, o no hay esencia y definición de ninguna de estas cosas o, si la hay, será de modo distinto, como ya hemos dicho.

Surge, además, otra aporía acerca de estas cosas. Y es que si “nariz chata” y “nariz cóncava” son lo mismo, serán lo mismo “chato” y “cóncavo”. Y si no, puesto que es imposible explicar “chato” sin inlcuir aquello de lo cual es afección por sí mismo (ya que “chato” es concavidad en la nariz), o no es posible formular la expresión ‘nariz chata’ o se habrá dicho dos veces lo mismo: ‘nariz nariz-cóncava’ (puesto que la nariz chata sería nariz nariz cóncava). Por ello resulta absurdo que en tales cosas haya esencia. De lo contrairo se cae en un proceso infinito, ya que en una “nariz nariz cóncava” se incluirá aún otra.

Es, pues, evidente que hay definición de la entidad solamente. Y, desde luego, si la hay también de las demás categorías, necesariamente será por adición, como de la cualidad y del impar. Éste, en efecto, no puede definirse sin incluir el número, ni tampoco la hembra sin incluir el animal (y hablo de compuesto “por adición” en aquellos casos, como éstos, en que ocurre que se dice dos veces lo mismo). Y si esto es verdad, tampoco habrá definición de los compuestos por unión de más de un término, por ejemplo, de “número par”. Esto se nos pasa por alto, sin embargo, porque las expresiones no se formulan con rigor. Por lo demás, si también hay definiciones en estos casos, o bien lo son de otro modo, o bien, como se dijo, habrá de afirmarse que la definición y la esencia se denominan tales en muchos sentidos y, por consiguiente, en un sentido ni habrá definición de nada ni esencia de nada, excepto de las entidades, y en otro sentido las habrá.

Así pues, es evidente que la definición es el enunciado de la esencia, y que la esencia pertenece a las entidades, bien exclusivamente, bien en grado sumo, de modo primario y en sentido absoluto.